As ciências são todas irmãs porque são filhas do mesmo Pai; mas algumas são mais próximas entre si, como a Álgebra e a Geometria. Isto vem a propósito de umas quantas ideias que fui buscar ao meu sótão das velharias, onde encontrei uns problemas que gostava de recordar aqui.
O problema do caixeiro-viajante consiste no planeamento de uma viagem em que se pretende fazer o menor percurso possível ao visitar várias cidades, o que é naturalmente importante para economia de tempo e custos (como o do combustível gasto pelo automóvel…). Ora atendendo a que a posição das cidades a visitar pode estar perfeitamente definida pelas suas coordenadas geográficas ou por um sistema de dois eixos (com as suas ordenadas e abcissas) pareceria à primeira vista um problema mais ou menos trivial para um matemático. Mas o certo é que o interesse dos matemáticos por este problema já desde o início do século XIX, ainda não encontrou uma solução adequada.
O “problema dos aniversários” tem solução bem determinada mas é tão surpreendente que até se lhe chama o paradoxo dos aniversários. Este consiste em calcular a probabilidade de haver, num grupo de pessoas, duas que façam anos no mesmo dia. Teoricamente, a probabilidade de 100% só se verifica num grupo de 367 pessoas. No entanto, a probabilidade de uma coincidência é elevada em grupos muito mais pequenos. O paradoxo consiste precisamente nesta realidade. Para 50% de probabilidades de uma coincidência basta um grupo de 23 pessoas. Para um grupo de 50, então a probabilidade já é de 97%. Quem calcula estas coisas encontrou 99,99996% para um grupo de 100. Estes valores levaram-me a examinar uma lista de 103 familiares e fiquei surpreendido com o resultado, pois encontrei nada menos do que onze duplicações e ainda duas triplas!
Outra verificação surpreendente é a da frequência dos primeiros dígitos nos números de constantes físicas ou listas numéricas de variadas grandezas como o comprimento de rios, áreas de lagos ou a altitude de montanhas. Cerca de 30% desses números começam por 1; depois seguem-se os que começam por 2 e assim por diante, até chegar ao 9, inferior a 5% do total. Se a frequência com que aparece o primeiro dígito fosse uniforme, então cada um deles apareceria em 11% dos casos. Numa folha de cálculo coloquei uma coluna com os números 111, 222, 333, etc. até 999. Depois inseri mais 7 colunas, cada uma delas contendo o valor duplo dos números anteriores. Obtive assim 63 novos números e fui verificar com que dígitos eles começavam. O resultado é inesperado porque 31,7% começam por 1, 15,9% por 2 e 12,7% por 3, com os restantes abaixo de 10% e um modesto 1,6% para os que começam por 9. Encontrei cálculos deste género numa história em que se contava a surpresa de alguém que ao consultar uma tábua de logaritmos observou que as páginas dos números que começavam por 1 eram mais manuseadas que as outras. Chamavam-se “ tábuas de logaritmos” aos manuais que continham esses dados numa altura em que ainda não se usavam computadores.
Desde que há mapas coloridos que os cartógrafos sabem que bastam quatro cores para que não haja duas cores iguais em territórios vizinhos (por exemplo países de um continente). No entanto, só há poucos anos se conseguiu demonstrar matematicamente esta realidade. O feito levou até os correios dos Estados Unidos a emitir um selo comemorativo.
Meu caro leitor: sugeria que desafiasse um dos seus pequenitos lá de casa a colorir um mapa dos distritos portugueses do continente. Parece-me que neste caso bastam três cores, mas se quiser usar quatro ou cinco, tanto melhor. Verá que os distritos são 18. Depois podia perguntar-lhe quais são os dois que não têm orla marítima nem fronteira com Espanha e também quais são os quatro que têm ambas as coisas. Pode ser que assim lhe suscite o gosto por mais uma ciência irmã da Matemática, neste caso a Geografia!
